viernes, 15 de junio de 2012

4.6 Distribución normal


En estadística y probabilidad se llama distribución normaldistribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de lasdistribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.
La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.
De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional.
La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.
Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:
  • caracteres morfológicos de individuos como la estatura;
  • caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;
  • caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;
  • caracteres psicológicos como el cociente intelectual;
  • nivel de ruido en telecomunicaciones;
  • errores cometidos al medir ciertas magnitudes;
  • etc.
La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal. Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad".
En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas.

Estandarización de variables aleatorias normales

Como consecuencia de la Propiedad 1; es posible relacionar todas las variables aleatorias normales con la distribución normal estándar.
Si X\, ~ N(\mu, \sigma^2)\,, entonces
Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \!
es una variable aleatoria normal estándar: Z\, ~ N(0,1)\,.
La transformación de una distribución X ~ N(μ, σ) en una N(0, 1) se llama normalizaciónestandarización o tipificación de la variable X.
Una consecuencia importante de esto es que la función de distribución de una distribución normal es, por consiguiente,
\Pr(X \le x)
=
\Phi
\left(
\frac{x-\mu}{\sigma}
\right)
=
\frac{1}{2}
\left(
1 + \operatorname{erf}
\left(
  \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}
\right)
\right)
.
A la inversa, si Z es una distribución normal estándar, Z ~ N(0,1), entonces
X = \sigma Z + \mu\,
es una variable aleatoria normal tipificada de media \mu\, y varianza \sigma^2\,.
La distribución normal estándar está tabulada (habitualmente en la forma de el valor de la función de distribución Φ) y las otras distribuciones normales pueden obtenerse como transformaciones simples, como se describe más arriba, de la distribución estándar. De este modo se pueden usar los valores tabulados de la función de distribución normal estándar para encontrar valores de la función de distribución de cualquier otra distribución normal.

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