2.6 Eventos independientes: Regla de Bayes.

Sea d un espacio muestral que está formado por los eventos A₁, A₂, A₃,.....,A_n mutuamente excluyentes, luego,

            d = A₁ÈA₂ÈA₃È.....ÈA_n

Luego si ocurre un evento B definido en d, observamos que;

B = dÇB = (A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn)ÇB = (A1ÇB)È(A2ÇB)È(A3ÇB)È.....È(AnÇB) 

Donde cada uno de los eventos AiÇB son eventos mutuamente excluyentes, por lo que 

p(B) = p(A1ÇB) + p(A2ÇB) + p(A3ÇB) +......+ p(AnÇB) 

y como la p(AiÇB) = p(Ai)p(B½Ai) , o sea que la probabilidad de que ocurra el evento Ai y el evento B es igual al teorema de la multiplicación para probabilidad condicional, luego; 

p(B) = p(A1)p(B½A1) + p(A2)p(B½A2) + p(A3)p(B½A3) + p(An)p(B½An) 

Si deseamos calcular la probabilidad de que ocurra un evento Ai dado que B ya ocurrió, entonces;

La expresión anterior es el teorema de Bayes, que como se observa es una simple probabilidad condicional. 

Ejemplos: 

 1. Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%, 26% y 31% de la producción total de una empresa respectivamente, se ha detectado que un 8%, 2% y 1.6% del producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso, a. Se selecciona un producto al azar y se encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en la máquina B?, b. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la máquina C? 

Solución: Para resolver este problema nos ayudaremos con un diagrama de árbol;

. a. Definiremos los eventos; 

D = evento de que el producto seleccionado sea defectuoso (evento que condiciona) 

A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A 

B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina B 

C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C 

P(B½D) = p(BÇD)/p(D) = p(B)p(D½B)/p(A)p(D½A) + p(B)p(D½B) + p(C)p(D½C) 

P(B½D) = (0.26*0.02)/(0.43*0.08 + 0.26*0.02 + 0.31*0.016) = 0.0052/0.04456

 =0.116697 

b. ND = evento de que el producto seleccionado no sea defectuoso (evento que condiciona) 

A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A 

B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina B 

C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina C

P(C½ND)=p(CÇND)/p(ND)=p(C)p(ND½C)/p(A)p(ND½A) + p(B)p(ND½B) + p(C)p(ND½C) = 0.31*0.984/(0.43*0.92 + 0.26*0.98 + 0.31*0.984) = 0.30504/0.95544 

=0.31927