2.10 Modelos analíticos de fenómenos aleatorios continuos

Conceptos de Variables Aleatorias discretas y continuas

Una variable aleatoria se define como una función que hace corresponder números reales a elementos del Espacio Muestral. Una variable aleatoria puede ser discreta o continua. Dependiendo del tipo de experimento o fenómeno podemos hablar de modelos de probabilidad, algunos de los cuales son muy comunes.

Sea x un Experimento, Ensayo o Fenómeno Aleatorio. Sea W el Espacio Muestral asociado al experimento x formado por todos los posibles resultados de la realización de dicho experimento. Se dice que X es una Variable Aleatoria, a una función tal que, para cada elemento w del espacio muestral W, le hace corresponder el elemento x del Espacio Rango   tal que x = X(w).

Una variable aleatoria puede ser Discreta o Continua.

A) Variable Aleatoria Discreta

En el caso discreto se define a p(x) como la función de probabilidad de X si

a)     p(x) ³ 0

b)      

Observaciones

1.     p(2) = P(X = 2) es la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor 2

2.     P(X = x1 ó X = x2  ) = P(X = x1 ) + P(X = x2)

3.      

4.     La Función de Distribución Acumulada de X es F, definida por  

5.     P(X > x ) = 1 –  P(X£ x ) = 1 – F(x)

6.     P(X < r ) = P(X£ r ) – P(X = r) = F(r)  –  p(r) 

7.     P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b ) – P(X ≤ a ) = F(b) – F(a)

8.     Del mismo modo, dado F, se puede hallar p(x) tal que

p(x) = P(X£ x ) - P(X£ x - 1 ) =  F(x) - F(x-1)

9.      

B) Variable Aleatoria Continua

En el caso continuo se define a f como la función de densidad de probabilidad de X si

                f(x) ³ 0

               

Observaciones

1.    

2.     Si F es la función de distribución acumulada de X entonces

F(x) = P(X £ x) =  

3.     De manera que P(a £ X £ b) = F(b) – F(a)

4.     P(X > x) = 1 – P(X £ x) = 1 – F(x)

5.     P(a < X < b ) = P(a £ X < b) = P(a < X £ b) = P( a £ X £ b)

6.     De manera que