1.7 Teorema del Binomio

*CONCEPTO DEL TEOREMA DEL BINOMIO *

El teorema del binomio, también llamado binomio de  Newton, expresa la enésima  potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio  ( a + b)^n posee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee diversas

aplicaciones en otras áreas del conocimiento.

FÓRMULA GENERAL DEL BINOMIO 

Sea un binomio de la forma (a +b).

Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes potencias: 

De lo anterior, se aprecia que:

a) El desarrollo de (a + b)^n tiene  n +1 términos.

b) Las potencias de  a empiezan con  n en el primer término y van disminuyendo en cada término, hasta cero en el último.

c) Las potencias de  b empiezan con exponente cero en el primer término y van aumentando en uno con cada término, hasta  n en el último.

d) Para cada término la suma de los exponentes de  a y  b es  n .

e) El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es  n . 

f) El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el exponente de  a dividido entre el número que indica el orden de ese término. 

g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.

Ejemplo.

Obtener el desarrollo de 2( x −5y)^4

Solución

Haciendo a = 2 x y b = −5y

Aplicando la fórmula se tiene: